本节重点是指数函数的图像和性质.难点是当a>1与0<a<1的函数值的变化情况，即，对于指数函数y＝a^x(a>0,a≠1)要特别注意底数a的取值对函数图像的影响.当a>1时，图像通过(0，1)点，函数是增函数.当0<a<1时，图像通过(0，1)点，函数是减函数.

(1)本节在高考中若单独命题，一般为选择、填空题，考查基本概念，也与其他知识联系出一些综合性题.

指数函数是高考考查的重点.近十年高考题中，考查指数函数及其性质等内容的知识出现频率较高，多出现在选择题或填空题中.

(2)指数函数，同对数函数及不等式等内容的综合是今后高考考查的方向.

指数、指数幂的运算性质，指数函数与对数函数的性质；函数的图像、方程、不等式综合知识的运用将是今后高考的一个热点.

(3)在研究指数函数时，要注意两方面的问题：一是底数的取值范围，二是有关复合函数问题.

(4)本节主要应用分类讨论思想和数形结合思想.

1.基础知识图表

2.指数函数的定义

函数y＝a^x(a>0且a≠1)叫做指数函数.定义中对a>0且a≠1的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性.

(1)如果a＝0，当x>0时，a^x恒等于0；当x≤0时，a^x无意义；

(2)如果a<0，比如y＝(-4)^x，对x＝ , 等都无意义；

(3)如果a＝1，则y＝1^x＝1是一个常数，对它没有研究的必要.此时，y＝a^x的反函数不存在，且不具有单调性.

(4)对于无理数指数幂，过去学过的有理数指数幂的性质和运算法则都适用.

(5)象y＝2·3^x,y＝2 ，y＝3^x+4等函数都不是指数函数，要注意区分.

3.指数函数的图像和性质

熟练地掌握指数函数的图像，是记忆和理解指数函数性质的关键.

指数函数的性质如下表

4.关于函数的图像和性质，须注意的几个问题

(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图像的无限伸展，x轴是函数图像的渐近线.

当0<a<1时，x→+∞,y→0；当a>1时，x→-∞,y→0,

当a>1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增速度越快.

当0<a<1时，a的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快.

(2)熟悉指数函数y＝10^x,y＝2^x,y＝( )^x,y＝( )^x在同一直角坐标系中的图像的相对位置，由此掌握指数函数图像的位置与底数大小的关系.

(3)证明指数函数y＝a^x(a>1)是增函数.

证明：当a>1时，任取x₁,x₂∈R.x₁<x₂.

则  a ＝a ＝a ·a

∵  x₂>x₁,a>1,∴  a >1.

又∵  a >0

∴  a ·a >a

∴  a >a

从而指数函数y＝a^x(a>1)在R上是增函数.

(4)注意几个熟悉的指数函数图像的平移变换和对称变换，而得到相关函数的图像.

例1  求下列函数的定义域与值域.

(1)y＝2 ;    (2)y＝4^x+2^x+1+1.

解：(1)∵x-3≠0，

∴y＝2 的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.

又∵ ≠0，∴2 ≠1，

∴y＝2 的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.

(2)y＝4^x+2^x+1+1的定义域为R.

∵2^x>0,

∴y＝4^x+2^x+1+1＝(2^x)²+2·2^x+1＝(2^x+1)²>1.

∴y＝4^x+2^x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.

评析  (2)中要结合二次函数及指数函数的单调性才能正确地求出函数的值域.

例2  已知c<0，下列不等式中成立的一个是(    )

A.c>2^c          B.c>( )        C.2^c<( )^c           D.2^c>( )^c

解法1：根据指数函数的性质，2^c>0,( )^c>0，而c<0，故A、B均不正确.对于C、D，由于指数相同，而底数不同，故构造指数函数f(x)＝2^x,在R上f(x)＝2^x是增函数.∵c<0,-c>c,f(-c)>f(c),即( )^c＝2^-c>2^c，故选C.

解法2：如果在同一直角坐标系中分别作出y＝x,y＝( )^x,y＝2^x的图像如下图，显然，x<0时，x<2^x<( )^x，即c<0时，c<2^c<( )^c.故选C.

评析  判断两个指数幂的值的大小，可以通过构造相应的指数函数，根据它的增减性来进行，也可以画出图像，利用数形结合来作.

例3  将下列各数从小到大排列起来：

(-3) ， ， ， ， ， ， ，

分析  这8个数按从小到大的顺序排列起来，最好的方法是将这些数分类：首先可考虑是负数还是正数，是负数的再进一步分成小于-1及-1与0之间；是正数的同样再进一步分成0与1之间的还是大于1.其次再将以上四类数中的每一类作进一步的大小比较就可将它们按从小到大的顺序排列起来.

解：在这8个数中，负数有： 与 两个，

且 <-1、-1< <0.

∴ < .

正数有：(-3) ＝3 、 、 、 ＝ 、 、 ＝(-2)²＝4

其中大于0而小于1的有： 、 两个，且 < .大于1的有：(-3) ＝3 、 ＝ 、 、 ＝4四个.

又∵(3 )³＝9，而［ ］³＝ ＝ <9

∴ ＝ < < ＝3 < ＝4.

综上所述8个数从小到大的排列顺序为：

(-3) < < < < < <(-3) < .

评析  比较两个幂的大小，要注意指数函数单调性应用与幂函数单调性应用的区别，若是同底数幂比较大小，同利用指数函数的单调性，若是同指数幂比较大小，则利用幂函数的单调性.

例4  求函数y＝ 的单调区间.

分析  这是复合函数求单调区间的问题

可设y＝ ,u＝x²-3x+2，其中y＝ 为减函数

∴u＝x²-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)

u＝x²-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)

解：设y＝ ,u＝x²-3x+2,y关于u递减，

当x∈(-∞， )时，u为减函数，

∴y关于x为增函数；当x∈［ ，+∞］时，u为增函数，y关于x为减函数.

例5  已知函数f(x)＝ (a>0且a≠1).

(1)求f(x)的定义域和值域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

(3)讨论f(x)的单调性.

解：(1)易得f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝.

设y＝ ,解得a^x＝- ①

∵a^x>0当且仅当- >0时，方程①有解.

解- >0得-1<y<1.

∴f(x)的值域为｛y｜-1＜y＜1＝.

(2)∵f(-x)＝ ＝ ＝-f(x)且定义域为R，∴f(x)是奇函数.

(3)f(x)＝ ＝1- .

1°当a>1时，∵a^x+1为增函数，且a^x+1>0.

∴ 为减函数，从而f(x)＝1- ＝ 为增函数.

2°当0<a<1时，类似地可得f(x)＝ 为减函数.

评析  本例(3)中的困难在于：若a>1，则a^x增，a^x-1增，a^x+1也增，因此无法判明 的增减性.造成这一困难的原因在于：变量分布的“范围”太广，因而变化因素不集中.所以我们对其变形：

f(x)＝ ＝1-

这样变量就集中于分母，所以就容易判别其增减性了.这种将变量集中的思想具有广泛的应用.例如：求二次函数最值时常常使用的配方法，就是这种思想的体现.

例6 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝ ;

(2)f(x)＝ - (a>0，且a≠1).

分析  判断函数的奇偶性的关键在于确定f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)中出现a^-x，则须在分子分母同乘以a^x,使f(-x)的形式向f(x)或-f(x)靠拢.

解：(1)∵f(x)＝ >0,

∴  f(x)不可能是奇函数.

由f(x)的定义域是(-∞，+∞)，故考虑f(-x)-f(x)是否为零.

f(-x)-f(x)＝ -

＝ -

＝ -

＝0.

∴  f(-x)＝f(x).

∴  f(x)＝ 是偶函数.

(2)f(x)的定义域为R.

∵  f(x)＝ - ＝ ，

f(-x)＝ ＝

＝- ，

∴  f(-x)＝-f(x),

∴  f(x)＝ - 是奇函数.

评析  对于解析式比较复杂的函数通常将其化简(在确定了其定义域的情况下)，然后再判定函数的奇偶性.

判断函数的奇偶性的问题，通常是根据函数奇偶性定义，也可将问题转化为证明下述结论：若f(-x)+f(x)＝0,则f(x)为奇函数；若f(-x)+f(x)＝2f(x)，则f(x)为偶函数.

例7 证明：函数f(x)＝2 在区间( ，+∞)上是减函数.

分析  根据减函数的定义，本题只需证明：对区间( ，+∞)上的任意两个实数x₁,x₂,只要x₁<x₂,便有f(x₁)>f(x₂).又注意到函数f(x)的解析式是指数形式，故考虑证明 >1来实现上述目的.

证：设 <x₁<x₂，则x₁-x₂<0,x₁+x₂>1，故(x₁-x₁²)-(x₂-x₂²)＝(x₁-x₂).［1-(x₁+x₂)］>0.

∴ ＝ ＝2 >2⁰＝1,

又∵f(x₂)>0,∴f(x₁)>f(x₂)

∴f(x)＝2 在区间( ，+∞)上是减函数.

评析  用数学概念解题，往往不是个别概念的孤立运用，而是一连串概念的综合运用，表述时，务求概念清晰，层次分明，说理充分.